Introduction rapide aux images
de l'ensemble de Mandelbrot

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L'ensemble de Mandelbrot est un objet mathématique très compliqué, qui est encore au coeur de recherches de haute volée, mais c'est aussi une source d'images toutes plus fascinantes les unes que les autres. On peut obtenir ces images sans se soucier des aspects mathématiques au moyen de programmes spécialisés, les explorateurs Mandelbrot ; de nombreux programmes de ce type ont été écrits, comme mon propre MandelTour, pour l'Amiga, ou FractInt pour les compatibles PC.

image de base

Jetez un coup d'oeil à la vue générale ci-contre. L'ensemble de Mandelbrot proprement dit est la partie en noir, mais le plus intéressant est la structure colorée qui l'entoure. L'image peut s'interpréter en imaginant que l'on a découpé l'ensemble dans une plaque métallique et que l'on chauffe cette plaque. La température monte tout autour et on peut visualiser cette montée par une thermographie, c'est à dire qu'on donne une couleur aux points dont la température est dans une plage donnée, une autre couleur pour les points dans une autre plage, etc... En gros, la température va d'autant plus monter que l'on sera plus prés du bord de la plaque et c'est là le point crucial : le bord de l'ensemble de Mandelbrot est fantastiquement compliqué. L'image n'en donne qu'une idée trés faible. On y voit bien des disques de toutes taille et on veut bien admettre qu'il y en a d'autres encore plus petits, que la résolution insuffisante de l'image ne permet pas de voir. Mais il y a bien plus. L'ensemble se prolonge par une véritable chevelure de lignes imperceptibles, qui relient l'ensemble principal à des myriades de répliques miniatures de cet ensemble. Ces lignes sont invisibles (de vraies lignes mathématiques, 1 point de large!) mais leur présence fait monter la température avoisinante, et on "voit" cette montée se traduire par des structures fantastiques. Mais pour voir tout cela, il faut regarder de très près la frontière de l'ensemble; il faut un microscope. Le logiciel explorateur fournit précisément ce microscope.

image Mandelbrot Dans la plupart des explorateurs Mandelbrot, on trace un rectangle à la souris pour encadrer la zone à agrandir, que le logiciel recalcule aux dimensions de l'écran. Par exemple, à partir de la vue générale ci-dessus, on obtient d'abord l'image ci-contre, puis l'image ci-dessous. Les couleurs liées à chaque image sont arbitraires ; l'utilisateur peut les régler à son goût - avec plus ou moins de facilité, toutefois, selon l'ergonomie du programme.   Mandelbrot, détail

 

 

On remarque dans cette 3ème image que la forme noire ressemble énormément à la vue générale de l'ensemble de Mandelbrot. C'est une propriété générale de l'ensemble de Mandelbrot. A quelque grossissement que ce soit, dans les zones compliquées où il y a quelque chose à voir, on trouvera toujours des petites répliques de l'ensemble principal. C'est une sorte de signature de l'ensemble de Mandelbrot. Les mathématiciens assurent que toutes ces répliques sont reliées entre elles par des filaments invisibles.

Tout le jeu consiste donc à discerner sur une image ce qui pourrait bien être intéressant à agrandir, puis à ajuster les couleurs au mieux. En règle générale, plus on grossit, plus les images deviennent intéressantes... mais il se peut aussi que les images deviennent trop compliquées pour la résolution disponible à l'écran - on entre là dans des domaines d'expert. A titre d'exemple, voici une image intéressante très fortement grossie, issue de la pointe à gauche de l'ensemble général. Détail, G=2.10**30

 

 

En supposant que cette image vous apparaisse avec une largeur de 10 cm (ça dépend évidemment de votre écran), l'ensemble principal à la même échelle aurait une largeur de 10E33 cm (10 à la puissance 33), soit 10E15 années-lumière, chiffre absolument ahurissant (notre Voie Lactée ne fait que 100 000 années- lumière de diamètre).

 

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