Comme les fractales IFS ne jouent qu'un rôle minime dans le discours de ces pages sur les fractales et l'art, cette page est une sorte de parenthèse, de note de bas de page, qu'on pourra sauter si on est pressé, mais aussi qu'on pourra lire avec profit (j'espère) si on est un peu curieux de la diversité de ce monde fractal. Dans la mesure du possible, j'éviterai toute mathématique autre que des notions intuitives de géométrie.

Une fractale IFS est définie par un ensemble de transformations géométriques élémentaires que les mathématiciens appellent transformations "linéaires" ou "affines", mais qui, dans le langage de tous les jours, se réduisent à des combinaisons de

• rotations
  
• aplatissements selon l'axe horizontal ou vertical. On peut avoir le même rapport d'aplatissement sur les deux axes, auquel cas on parle d'homothétie, mais ce n'est pas forcé.
  
• cisaillements verticaux ou horizontaux, transformant un rectangle en parallélogramme par glissement d'un côté sur lui-même.

Les transformations à mettre en oeuvre dépendent de la figure qu'on veut reconstituer. On ne pourra pas faire n'importe quoi. Il y a un précepte magique à observer: si on fait agir chacune des transformations sur la figure globale, on doit obtenir à chaque fois des morceaux de cette figure, et la réunion de ces morceaux doit reconstituer la figure globale. La fougère précédente demande ainsi 4 transformations, comme figuré ci-dessous.

La reconstitution de l'image est une opération magique. Il y a d'abord une phase d'initialisation, où on part d'un point arbitraire (le centre de l'écran par exemple) sur lequel on fait agir les diverses opérations du système IFS, tirées au hasard, un grand nombre de fois (1000 ou plus), sans rien écrire à l'écran. Puis on continue, cette fois en inscrivant le point à chaque fois. Et le miracle opère, on voit peu à peu se dessiner la fougère !

On peut comprendre un peu ce qui se passe en observant que chacune des transformations a des points invariants (qui ne bougent pas quand on leur applique la transformation) et que ces points font forcément partie de la figure. En effet, comme les transformations sont tirées au hasard, on peut avoir la même plusieurs fois de suite, et comme ce sont des contractions, on va forcément vers ce ou ces points fixes. Tôt ou tard, on entre donc dans la figure et c'est le but de la phase d'initialisation. Ensuite, au gré de la succession des transformations, le point va errer un peu partout dans la figure. Il conviendra d'ajuster les probabilités de tirage de chacune des opérations pour ne pas favoriser telle ou telle partie de la figure.

Plusieurs programmes d'initiation aux fractales IFS ont été écrits à partir de 1988, date de parution d'un article de vulgarisation de M.F. Barnsley et A.D. Sloan ("A Better Way to Compress Images", Byte, Janvier 1988), dont le mien pour l'Amiga. J'ai rapidement eu la conviction que c'était un très bon outil pour faire des fougères, y compris des variétés pathologiques comme le spécimen ci-contre, mais que l'outil manquait fortement de souplesse pour une utilisation artistique, du moins avec les programmes accessibles. Et que les "arbres" IFS manquaient singulièrement de réalisme.

Et la couleur dans tout ça ? Dans ces programmes élémentaires, la seule recette accessible était de faire varier la couleur chaque fois qu'on réécrivait un point déjà inscrit (Barnsley lui-même ne propose rien d'autre dans son livre Fractals Everywhere). L'image précédente a été obtenue avec cette recette. Pour aller au-delà, il n'y avait plus qu'à superposer des images élémentaires quasi-monochromes, comme le bouquet de fougères ci-dessous.