Premiers pas

Pour le grand public, l'aventure des images fractales commence avec les images de l'ensemble de Mandelbrot. Ces images particulières sont apparues comme des objets magnifiques dès qu'on a pu disposer d'ordinateurs avec des sorties graphiques dignes de ce nom. Une première exposition en 1984 eut un énorme succés, que ses auteurs prolongèrent dans un ouvrage au titre explicite, The Beauty of Fractals, de H.O. Peitgen et P.H. Richter (éd. Springer-Verlag, Berlin, 1986). Quelques années après (86-90), les progrès des micro-ordinateurs popularisaient l'accès à ces images.

Il se cache des mathématiques très ardues derrière cet ensemble de Mandelbrot, mais qu'on peut tout à fait ignorer quand on ne s'intéresse qu'à la beauté des images. Il existe maintenant de nombreux logiciels faciles d'accès et qui permettent d'obtenir des résultats comparables à la figure ci-dessus. Si vous n'en n'avez jamais manié, cliquez ici pour faire une première visite guidée dans l'ensemble de Mandelbrot. Ne vous inquiétez pas, il n'y aura vraiment aucun calcul ! Incidemment, vous aurez aussi un premier contact avec une propriété fondamentale des figures fractales, l'autosimilarité, sur laquelle nous reviendrons à plusieurs reprises.

On peut faire le même genre de promenade dans les figures de Markus-Lyapounov si on dispose d'un programme explorateur pour ce type de fractales.

En fait, il semble bien que ce jaillissement des couleurs, si frappant pour le public profane, ait été une heureuse surprise pour les pionniers mathématiciens des années 70-80. Pour eux, l'ensemble de Mandelbrot était la figure ci-contre et on s'intéressait avant tout à l'architecture compliquée de son contour. Benoît Mandelbrot lui-même évoque cette aventure dans son ouvrage "Les objets fractals" (Flammarion, Paris, 3ème edition en 1989). Cet objet constituait alors une sorte de clé "simplificatrice" pour comprendre et classer le comportement d'autres objets fractaux. Le problème le plus important de l'époque, à lire l'ouvrage de Mandelbrot, était alors de définir des outils permettant de simuler des formes naturelles comme des reliefs montagneux ou des rivages rocheux. L'objectif pratique était de pouvoir obtenir des formes compliquées avec le plus petit nombre de paramètres possibles; on trouvera quelques explications sur ce point par le biais des courbes de Von Koch, qui nous donneront aussi un nouvel exemple de fractale, et l'illustration la plus pure du concept d'autosimilarité. Ces courbes nous serviront aussi plus tard pour introduire la notion de "dimension" d'une ligne fractale.

Les fractales IFS ("Iterated Function Systems") jouent également un grand rôle dans la saga des fractales. Elles ont été développées par Michael Barnsley dans un livre au titre provocateur, Fractals Everywhere (Academic Press, New York, 1988), lui aussi joliment illustré - attention toutefois, ce sont pures mathématiques ! En fait, Barnsley est allé très loin dans son programme de "fractales n'importe où" puisqu'il est parvenu à démontrer que toute image peut se représenter à l'aide d'un "petit" nombre de ces IFS et qu'il en a tiré le procédé de compression des images qu'on trouve aujourd'hui dans le commerce sous le nom de compression fractale. Ce résultat a une certaine importance philosophique, bien résumée dans son titre - les fractales sont partout -, mais il n'en n'a guère dans le domaine artistique dans la mesure où on n'a jamais écrit de programme permettant de composer des images arbitraires à l'aide de ces fractales.

Mais qu'est-ce qu'une fractale ?

A ce niveau de l'exposé, le lecteur serait en droit d'attendre une définition plus claire, exhaustive, de ce qu'est une figure fractale. Je m'en abstiendrai prudemment. Après tout, on peut lire tout l'ouvrage de Mandelbrot sans rencontrer cette définition ! J'en resterai donc à un niveau assez vague. Après les exemples précédents de courbes garanties "fractales" par les savants, nous en resterons à l'idée vague de courbes (ou de surfaces) très irrégulières, avec une autosimilarité plus ou moins marquée, c'est-à-dire que certaines structures se retrouvent un peu partout et à toutes les échelles. C'est très frappant dans la fougère ci-contre, où on retrouve la figure complète en réduction dans chacune des branches, puis, encore plus réduit, dans chacun des sous-branches, etc... Dans la figure précédente de l'ensemble de Mandelbrot, on voit partout des disques portant d'autres petits disques, eux-même portant d'autres disques encore plus petits, mais on sait qu'on trouve aussi des miniatures de l'ensemble tout entier quand on grossit suffisamment la figure. On a vu aussi cette autosimilarité à l'oeuvre dans les courbes de Von Koch. Bien entendu, quand on introduit des facteurs aléatoires dans la construction des fractales, l'autosimilarité stricte est remplacée par un simple air de famille.

Il semble également qu'une courbe fractale doive être dotée d'une dimension fractale pour mériter pleinement le nom, mais nous n'aurons besoin de cette notion qu'une fois, lorsque nous discuterons du label d'art "non-euclidien".

Les fractales pour l'artiste

Pour l'"artiste" - nous discuterons plus tard de cette appellation - on peut considérer qu'il y a deux domaines d'utilisation des fractales.

• L'artiste dispose d'outils fractaux, le plus souvent des logiciels commerciaux, pour simuler des paysages ou pour obtenir diverses textures avec lesquelles il peut habiller des surfaces dans des logiciels de synthèse d'image. En général, il ne mettra pas en avant le caractère fractal des images obtenues, mais plutôt leur aspect naturel, réaliste, et il ne revendiquera pas le label "art fractal" pour ces oeuvres - sauf quelques cas exceptionnels sur lesquels je reviendrai.

• Au contraire, les tenants de cet art fractal produisent des images non figuratives, généralement très colorées, à partir de programmes au net parfum de mathématiques appliquées. Typiquement ce genre de programme calcule un nombre pour chaque point de la figure, selon un algorithme plus ou moins complexe, puis traduit ce nombre en couleurs. Pour les algorithmes les plus classiques (figures de Mandelbrot et ses proches parents), il existe des programmes très conviviaux où tous les détails mathématiques sont épargnés à l'utilisateur, et où celui-ci n'a plus que quelques coups de souris à donner pour obtenir ses images - avec un peu de patience toutefois, le temps que les calculs se fassent. Mais il existe aussi des programmes, plus délicats, où l'"artiste" peut préciser lui-même sur quelle fonction mathématique il veut travailler, ajoutant ainsi (peut-être) une nouvelle dimension au caractère artistique de l'oeuvre. Et certains écrivent même complètement leurs programmes. Un point remarquable est que la plupart des logiciels disponibles viennent du domaine public ou semi-public (sharewares).

Il y a une immense variété de figures fractales.

Le grand public connait surtout les figures de l'ensemble de Mandelbrot, et, paradoxalement, il a parfois des réactions de rejet, sous prétexte qu'il a déjà vu ça trop souvent. J'ai rencontré plusieurs fois cette attitude chez des gens d'images et je l'attribue à la large pénétration des programmes gratuits d'exploration de cet ensemble. Trop de gens ont essayé et se sont arrêtés trop rapidement, évidemment sur à peu près toujours les mêmes images, qui auraient paru étonnantes il y a dix ans, lors de la parution de The Beauty of Fractals, mais qui sont devenues banales. Il y a bien d'autres choses à voir (même dans l'ensemble de Mandelbrot, à condition de persévérer).

A titre d'exemple, je joins quelques images très simples, obtenues il y a quelques années sur un logiciel Amiga, et d'autres beaucoup plus évoluées, dues à quelques uns des meilleurs spécialistes accessibles sur Internet. La différence de qualité devrait sauter aux yeux - et aussi éveiller quelques vocations...

Quelques logiciels