Des figures non euclidiennes ?

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Par deux fois au moins, l'épithète "non-euclidien" pour un travail artistique aura été un label de modernisme au cours du XXe siècle.

La première apparition de cette épithète vient avec les peintres cubistes. L'art contemporain du moment avait déjà acquis une solide tradition de toujours vouloir aller au-delà des limites, au-delà des conventions, au-delà de l'horizon du moment pour appréhender l'inconnu, l'indicible, le caché. Parmi ces contraintes à bousculer, il y a que nous vivons dans un espace à 3 dimensions et que la vision que nous en avons est soumise aux lois de la perspective. Les cubistes n'étaient pas les premiers à chahuter la perspective mais ils y sont allés très fort, et l'une des diverses explications qui les ont accompagnés faisait référence à une quatrième dimension que les artistes auraient essayé de rendre sur la toile (voir Luc Ferry, Le sens du beau, Editions Cercle d'Art, 1998). Cette quatrième dimension était venue à la mode avec les premières popularisations des théories d'Einstein, sans qu'il soit toujours très clair s'il s'agissait du temps (auquel cas les dessins cubistes seraient apparentés à des stroboscopies) ou s'il s'agissait d'une dimension supplémentaire d'espace. En soi, une quatrième dimension ne justifie pas l'épithète "non-euclidien" puisque les mathématiciens conçoivent aisément des espaces euclidiens à 4, 5, 6... dimensions, mais selon toute vraisemblance, on voulait simplement dire qu'on sortait ainsi de l'espace de tous les jours étudié par Euclide.

Cette épithète "non-euclidien" est réapparue dans les commentaires entourant les peintres fractalistes... avec d'autres significations, pas toujours très claires.

  • Le journaliste Henri François Debailleux lie ce terme à ce que j'ai appelé "vertige de l'infini", mais cette plongée dans l'infini lui demande manifestement du temps, ce qui fait qu'on retrouve l'interprétation temporelle de la 4ème dimension ci-dessus, le caractère non-euclidien venant de cette dimension supplémentaire : "on a abandonné le principe euclidien pour trouver la perspective qui est dans le temps"

  • Il semble que la philosophe Christine Buci Glucksmann emploie ce terme dans deux sens.

    D'abord elle dit que les fractales n'appartiennent pas à l'arsenal décrit dans la géométrie d'Euclide : "la fascination qu'exercent les fractales sur les artistes répond à une question précise : comment appréhender et créer une forme non euclidienne et non formaliste ? Que ce soit une côte, un nuage, un tas de feuilles, une fleur de glace, les racines d'une plante ou un chou-fleur..." ce qui me paraît assez banal. Il me semble bien que les artistes classiques n'ont pas attendu la théorie des fractales pour peindre un nuage ou un chou-fleur de manière réaliste.

    Puis elle introduit la notion de dimension, sans réelle explication "les fractales sont des courbes de complexité infinie dans un espace fini. D'où la notion clef de dimension, qui n'est plus un nombre entier, au sens ou l'on parle d'espace à 2 ou 3 dimensions" (qu'est-ce qu'un non-initié peut bien comprendre ?) et elle semble bien relier cette dimension non entière au caractère non-euclidien : "à la différence de la mesure euclidienne des formes, avec ses constantes (droite/gauche, haut/bas, lourd/léger...), ici la notion de dimension est inséparable d'un point de vue". Je dois avouer que le sens profond de cette phrase m'échappe, mais je crains que l'invocation de la dimension (fractale) non entière ne compte fortement dans l'affirmation du caractère non-euclidien de ces formes, à comprendre comme l'affirmation que ces formes n'appartiennent pas à notre vie de tous les jours.

  • Susan Condé, écrivain, en reste plus prudemment au fait que les figures fractales n'appartiennent pas au registre des figures classiques d'Euclide : "Tout d'abord, disons simplement qu'un fractal est un type de forme conçue dans le cadre d'une géométrie non-euclidienne, de même qu'un carré serait une forme qui relève de la géométrie euclidienne" et elle attache beaucoup d'importance à ces formes nouvelles parce que "Toute forme incarne un système de pensée... la forme représente un système de pensée, une conception du comportement, une façon de modeler" et elle attend que des attitudes nouvelles émergent avec l'emploi de ces formes.

    Incidemment, le texte de Susan Condé qui accompagne l'exposition des peintres fractalistes est un extrait d'un livre qui aurait dû paraître en 1998. Il sera intéressant de voir quel accueil Susan Condé aura fait aux travaux réalisés avec Fractint, Tierazon, Flarium et cie, plus conformes à l'idée que je me fais d'un art fractal populaire.

  • Dans son 4ème point, le manifeste du Groupe Art et Complexité regroupant ces peintres fractalistes déclare : "Nous abandonnons la rationalité euclidienne au profit de processus imprévus et non programmés". Bon...

  • Enfin, l'un de ces peintres (Cesar Henao) annonce "un fait existentiel nouveau : les géométries de l'illusion non-euclidienne font état des multimomentums fractales et proto-fractales qui traversent la nature réflexive et sa projection dans l'art..."
    Hum !

En conclusion, le qualificatif "non-euclidien" est ambigû, à cause du sens mathématique très précis de ce mot et des divers sens populaires qu'on a pu lui attribuer, qui ne se recouvrent pas. Ainsi, serait "non-euclidien" :

  1. - tout ce qui invoquerait une dimension supplémentaire, hors des trois dimensions de notre vie de tous les jours

  2. - toute forme n'appartenant pas au bestiaire décrit par Euclide et ses successeurs, les droites, triangles, carrés, cercles, ellipses... (les courbes analytiques, pour les savants). On notera qu'une surface sphérique serait bien euclidienne dans ces deux sens, alors que les mathématiciens y verront volontiers une surface non-euclidienne. &CCedil;a ne facilite pas la discussion.

  3. - toute forme ayant une "dimension" non entière. Cette définition me paraît ressortir, soit du terrorisme intellectuel, soit de la supercherie. Comment la notion délicate de dimension fractale pourrait-elle être accessible au grand public ? Quand on est initié, on sait que ça implique une longueur infinie, donc la "complexité infinie dans un espace fini", et qu'on revient ainsi à la deuxième définition. Mais aussi, cette mystérieuse dimension non-entière suggère qu'on manipule des êtres qui n'appartiennent pas vraiment à notre espace de tous les jours, à 2 ou 3 dimensions tout rond, c'est-à-dire qu'on fait ainsi resurgir abusivement la première définition.

 

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Notes

Le temps comme quatrième dimension : dans la théorie de la Relativité Restreinte, Einstein introduit un continuum spatio-temporel où le temps est lié aux trois dimensions d'espace, l'un des principaux résultats étant que les indications d'une pendule dépendent de la vitesse à laquelle elle se déplace.

Une quatrième dimension d'espace ? Dans la théorie de la Relativité Générale, Einstein est amené à conclure que notre espace-temps est "courbé". Pour faire comprendre cette notion de courbure d'un continuum, on a coutume d'invoquer la géométrie sur la surface d'une sphère, qui forme un continuum à 2 dimensions courbé dans notre espace ordinaire à 3 dimensions. Une analogie directe conduirait à invoquer une dimension supplémentaire pour "comprendre" la courbure de notre espace-temps familier, dimension qui serait une dimension d'espace si on admet que le temps conserve son caractère particulier.

En fait, on n'a pas besoin d'invoquer de dimension particulière. On peut étudier toute la géométrie de la sphère en restant à sa surface, et on aboutit au résultat aussi simple que surprenant du paragraphe suivant.

La géométrie de la surface d'une sphère n'est pas euclidienne. Dans tout continuum où sait mesurer des distances, comme la surface d'une sphère, les "lignes droites" sont remplacées par les géodésiques, les plus courts chemins d'un point à un autre - les grands cercles pour notre sphère -, et comme deux grands cercles non confondus se coupent forcément, la géométrie d'une surface de sphère ne vérifie pas le postulat d'Euclide : par un point extérieur à une "droite", il est impossible de faire passer une autre "droite" parallèle à la première, c.à.d. qui ne la recoupe nulle part. On a affaire à une géométrie riemannienne.

Euclide était un mathématicien grec de l'Antiquité (III-Ve siècle avant J.C.) qui avait entrepris d'écrire toute la mathématique de son temps. Lui et ses successeurs ont notamment décrit la géométrie classique dans le plan et dans l'espace, en démontrant toutes les propriétés connues des figures classiques (droites, triangles, cercles, ellipses, etc...) sauf une, évidemment, le célèbre postulat d'Euclide, qui est indémontrable : dans un plan, par un point hors d'une droite de ce plan, il passe une parallèle à cette droite et une seule. Le premier sens historique du mot non-euclidien concerne les géométries qui ne vérifient pas ce postulat (Lobatchevski ou Riemann), découvertes à la fin du XIXe siècle. Pour les mathématiciens, les espaces euclidiens vérifient ce postulat ou sa généralisation pour 3 dimensions ou plus.


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