Courbes de Von Koch

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La courbe originale de Von Koch, aussi appelée courbe du flocon de neige, s'obtient comme la limite d'un contour polygonal. A chaque étape, comme illustré ci-contre, chaque côté du polygone est indenté sur son tiers médian par deux segments à 60° et 120°.

La construction originale de Von Koch part du triangle équilatéral ci-contre à gauche, et les deux premières étapes donnent les figures suivantes. En continuant suffisamment longtemps, on arrive à la figure ci-dessous. En pratique, la courbe affichée sur un écran ne varie plus quand le segment élémentaire tombe en dessous de la distance entre deux pixels, et on peut arrêter le processus, mais dans l'idéal mathématique, on continue indéfiniment.

On arrive ainsi à ce qui a longtemps été considéré comme une monstruosité mathématique, une courbe de longueur infinie (on voit aisément que le périmètre est multiplié par 4/3 à chaque tour) inscrite dans un domaine borné, et dérivable nulle part (c.à.d. nulle part on ne peut définir de tangente), et qu'on voit maintenant comme un exemple élémentaire de courbe fractale, "élémentaire" à cause de la simplicité du procédé de construction.  

On constate que le motif motif est omniprésent dans la figure, dans toutes les orientations et à toutes les échelles possibles. C'est cela qu'on appelle autosimilarité.

On a pu penser un moment qu'une telle courbe pourrait servir de modèle dans la recherche des outils pouvant tracer des lignes naturelles complexes (comme une côte rocheuse, selon l'exemple célèbre de Benoît Mandelbrot) avec un petit nombre de paramètres. Ici, les "paramètres" se réduisent à peu de choses, les coordonnées relatives des 3 points d'indentation, et le résultat a l'air vraiment complexe quand on vient du domaine de la géométrie classique et ses courbes bien lisses.

Bien entendu, la courbe de Von Koch n'a pas l'air d'une courbe "naturelle". Elle est trop régulière dans son irrégularité pour simuler les irrégularités d'une côte rocheuse. Cette régularité est due à la rigidité totale du processus itératif. On peut la casser en introduisant des fluctuations aléatoires (par exemple, en faisant varier les points d'indentation et les angles autour de 60° et 120°), mais d'après Mandebrot, on préfère utiliser d'autres recettes pour de telles simulations.

Courbes de Von Koch généralisées

On peut changer l'allure de la courbe finale en modifiant le processus d'indentation. Mandelbrot donne l'exemple ci-dessous, où la symétrie de la courbe originale est cassée:
courbes
Mais on peut faire des modifications beaucoup plus radicales. Le motif suivant conduit à la célèbre courbe de Péano, la courbe continue qui remplit tout un carré. On ne figure ci-dessous que les trois premières étapes, peano mais on devine aisément qu'on va remplir tout le carré bleu si on poursuit l'itération. Précisons qu'il ne devrait pas y avoir d'arrondis; ceux-ci n'ont été ajoutés que pour la commodité de lecture, pour mieux suivre la continuité de la courbe.

Notez aussi que la longueur de la ligne polygonale double à chaque itération.

Enfin, on peut compliquer encore le processus en introduisant périodiquement divers renversements ou symétries, en rendant invisibles les segments à certains moments, enfin en changeant les couleurs de tracé d'une itération à l'autre. On aboutit ainsi à des figures extrêmement variées. Divers programmes expérimentaux ont été écrits pour en explorer les possibilités. Les figures ci-dessous ont été obtenues avec le programme Fracgen, de Doug Houck (1988, pour l'Amiga).

fracgen
Bien entendu, ces images ressortent plus de la curiosité que de l'art, mais on n'est pas allé plus loin dans cette voie, faute d'une évolution de ces programmes.

 

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